دراسة مقارنة لبعض طرق التكامل العددي المحدود باستخدام برنامج MAPLE

الملخص

يعرف التكامل العددي بأنه كيفية إيجاد القيمة التقريبية لتكامل معين ويتم اللجوء إليه عادةً عندما تكون هناك صعوبة أو أنه لا يمكن حساب قيمة التكامل بالطرق المعتادة، أو عندما تكون صيغة الدالة غير معلومة وإنما معلوم قيمها عند عدد محدود من النقاط. تهدف هذه الدراسة إلى المقارنة بين ثلاثة من طرق التكامل العددي وهي (طريقة شبه المنحرف وطريقة سمبسون وطريقة رومبرج) من أجل الوصول إلى الطريقة الأفضل من حيث دقة النتائج وسرعة التقارب إلى القيمة الدقيقة للتكاملات، كما تهدف أيضاً إلى دراسة تأثير زيادة عدد تقسيمات الفترة وإشارة حدود التكامل والشكل الرياضي للدالة على دقة نتائج كل طريقة. وقد تمت المقارنة باستخدام برنامج Maple 18  في حساب القيم الدقيقة والتقريبية (مقربة إلى تسعة أرقام عشرية بعد الفاصلة) وحساب الخطأ المطلق لعدد من التكاملات الأحادية لدوال متنوعة الشكل الرياضي ومستمرة في فترات تكاملها. من أهم النتائج التي تم الوصول إليها أن طريقة شبه المنحرف يكون تقارب نتائجها من القيم الدقيقة لتكاملات الدوال المثلثية والدوال متعددة التعريف أسرع من الطرق الأخرى؛ وبالنسبة للتكاملات الأخرى (المجرى عليها الدراسة) فإن طريقة رومبرج هي الأفضل من حيث الدقة وسرعة التقارب وتأتي طريقة سمبسون في المرتبة الثانية. ومن النتائج العددية يمكن أن نستنتج أن زيادة عدد تقسيمات الفترة لا تؤدي دائماً إلى زيادة دقة النتائج لكل التكاملات، وأنه عندما يقع منحنى الدالة في الربع الأول فإن الطرق المدروسة تعطي نتائج دقيقة جداً مقارنةً بما إذا كان يقع في الربعين الأول والثاني معاً أو في الربع الثاني والذي تحصلنا فيه على أقل دقة للطرق.